La función f(x, y) tiene un máximo local en el punto (x0, y0) si f(x,
y) < f(x0, y0) para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a (x0, y0) con
excepción de (x0, y0) mismo.
La función f(x, y) tiene un mínimo local en el punto (x0, y0) si f(x, y) f(x0,
y0), para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a (x0, y0), con excepción
de (x0, y0) mismo.
El valor correspondiente de f(x0, y0) se denomina el valor máximo local (o
valor minimo local, según sea el caso) de la función f. El término extremo abarca
tanto a máximos como a mínimos.
En el caso de funciones de una variable, estudiamos dos tipos de extremos,
uno en el que la derivada se hacía igual a cero y otro en que la derivada no existía,
correspondiendo a una esquina o pico de la gráfica de la función.
En esta sección, por
razones de simplicidad, nos restringiremos al primer tipo. Esto es, sólo consideraremos
funciones cuyas gráficas seansuperficies suaves en tres dimensiones. Esta
restricción no es seria dado que la vasta mayoría de las aplicaciones tratan con
funciones cuyas gráficas son suaves.
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